Ailseabra

’S e oideachadh structair agus dàimhe agus meud a th’ anns an ailseabra agus tha i tè de na mòr-roinnean matamataig. Tha ailseabra inntrigidh ann an clàr-teagaisg na h-àrd-sgoile far a bheil sgoilearan a’ faighinn aithne air smuaintean bunasach ailseabra, agus nan lùib feartan cur-ris agus iomadachadh àireamh, bun-bheachd nan caochladairean, agus feartan iol-teirmich, am factaradh agus am freumhan a lorg. Ach tha ailseabra nas farsainge. Mar a tha ailseabra ag obair le àireamhan, ’s ann a tha i ag obair le comharran, le caochladairean, agus le eileamaidean seata. Faodar cur-ris agus iomadachadh a mheas mar gum b’ e obrachaidhean uile-choitcheann a bh’ annta agus faodar structairean mar grùpaichean, fàinneachan, agus raointean a thogail bho na mìneachaidhean pongail a thathar a’ dèanamh orra.

Ailseabra inntrigidh

’S e seo ailseabra bhunasach mar a thathar ag ionnsachadh do sgoilearan aig nach eil ach eòlas bun-phrionnsabail na h-àireamhachd. Anns an àireamhachd, ’s e àireamhan agus na obrachaidhean àireamhach (.i. +, −, ×, ÷) a th’ ann. Anns an ailseabra inntrigidh, tha comharran (me. a, x, y) air an cur an àite àireamhan gus:

• Riaghailtean àireamhach a chur nan riochd coitcheann (me. a + b = b + a) agus mar sin toiseach a dhèanamh air feartan siostam nam fior-àireamhan a rannsachadh,
• Co-aontaran a chur ri chèile far a bheil àireamhan “neo-aithnichte” ach am fuasgladh (me. “Lorg an àireamh x far a bheil 3x + 1 = 10”),
• Dàimhean fuincseanach a chur ri chèile (me. “Nan reicte x ticeadan, bhiodh a’ phrothaid agad 3x − 10 notaichean, no f (x) = 3x − 10, far a bheil f am fuincsean a tha a’ dèanamh giollachd air àireamh x).

Ailseabra loidhneach

’S e fo-roinn ailseabra cudromach a tha anns an ailseabra loidhneach. Tha seo a’ dèiligeadh ri siostaman cho-aontaran loidhneach a tha cumanta anns na saidheansan agus a tha tè de na ceistean as aosda ann am matamataig.

Tha co-aontar loidhneach den riochd:

a₀ = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

far a bheil a₀, a₁, a₂, ..., a_n cunbhalach agus tha x₁, x ₂, ..., x_n rim faotainn. Tha e loidhneach chionns gur e co-aontar loidhne dìrich a tha:

y = a₁x + a₀,

agus ’s e loidhne dhìreach ann an spàs n-sheallach a tha:

f (x₁, x₂, ..., x_n) = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n.

’S e bheactar a tha 〈 x₁, x₂, ..., x_n 〉agus canar spàs bheactarach do spàs far am faodar bheactaran a shuimeadh agus a sgèileadh. ’S e cruth-atharrachadh loidhneach a th’ ann am fuincsean sam bith a ghlèidheas na feartan seo. Tha ailseabra loidhneach a’ gabhail a-staigh oideachadh bheactaran, spàsan bheactarach agus chruth-atharrachadh loidhneach.

Ailseabra easchruthach

Bun-bheachdan

Tha ailseabra inntrigidh a’ dèiligeadh ri àireamhan – eileamaidean de sheata àireamh. ’S e ailseabra easchruthach leudachadh nam bun-smuaintean seo do sheataichean as coitchinne. Le bhith a’ suidheachadh feartan agus riaghailtean a tha a’ buntainn ri seata eileamaidean sam bith, bithidh iad iomchaidh cuideachd do bheactaran, do mheatragsan, do dh’iol-teirmich, agus an leithid.

Thathar a’ leudachadh air bun-bheachdan cur-ris agus iomadachaidh gus obrachadh càraideach a dhealbhadh. ’S e seo obrachadh coitcheann air dà eileamaid àlaich a bheireas aon eileamaid den aon seata. Canar obrachadh dùinte ri seo. Bhiodh an t-obrachadh fosgailte mur eil buil an obrachaidh den aon seata, ach thathar a’ gabhail ris gu bheil obrachadh càraideach dùinte. ’S e obrachadh càraideach a th’ anns a’ chur-ris agus e a’ dèanamh 8 bho na h-àireamhan 5 agus 3; mar an ceudna ’s e obrachadh càraideach eile a th’ anns an iomadachadh agus e a’ dèanamh 15 bhuapa.

Le obrachadh càraideach, faodaidh bhith ann aon eileamaid den t-seata nach atharraich eileamaid eile. Mar eisimpleir, biodh A an seata agus biodh * na obrachadh càraideach air. Biodh a agus e nam buill den t-seata (.i. a, e ∈ A). Ma tha:

a * e = a

às leth gach a às an t-seata (.i. ∀ a ∈ A), ’s e an eileamaid ionnanachd a th’ ann an e. ’S e neoni an eileamaid ionnanachd le cur-ris nan àireamhan, agus a h-aon an eileamaid ionnanachd le iomadachadh.

Ma tha eileamaid b ann, aig gach a às an t-seata, far a bheil:

a * b = e,

agus e na h-eileamaid ionnanachd mar os cionn, ’s e eileamaidean iom-thionndaidh a tha a agus b. ’S e −x an eileamaid iom-thionndaidh aig x anns a’ chur-ris, agus ’s e ¹/_x anns an iomadachadh.

x + −x = 0

x × ¹/_x = 1

Faodaidh obrachadh càraideach a’ cumail ris an lagh cho-thiomsach. Mas fìor seo, cha toir òrdugh obrachaidh buaidh air a’ bhuil. ’S e seo gu bheil:

a * ( b * c ) = ( a * b ) * c.

Faodaidh e cumail ris an lagh cho-iomlaideach, far a bheil:

a * b = b * a.

agus cha toir òrdugh nan eileamaidean buaidh air a’ bhuil.

Grùpaichean

’S e grùpa ainm an structair ailseabraich aig a bheil seata A agus obrachadh càraideach * le feartan mar a leanas:

• tha an t-obrachadh dùinte: a * b ∈ A, ∀ a, b ∈ A.
• tha eileamaid ionnanachd ann: ∃ e ∈ A : a * e = e * a = a, ∀ a ∈ A.
• tha eileamaid iom-thionndaidh aig gach eileamaid: ∀ a ∈ A, ∃ a^-1 ∈ A : a * a^-1 = a^-1 * a = e.
• tha an t-obrachadh co-thiomsach: a * ( b * c ) = ( a * b ) * c, ∀ a, b, c ∈ A.

Ma tha an t-obrachadh co-iomlaideach cuideachd, ’s e grùpa aibèalach a th’ ann.

Mar eisimpleir, ’s e grùpa a tha seata nan slàn-àireamhan fon obrachadh cur-ris. Tha e dùinte chionns gur e slàn-àireamh a tha buil cur-ris, ’s e neoni an eileamaid ionnanachd, ’s e na h-àireamhan àicheil na h-eileamaidean iom-thionndaidh, agus tha cur-ris a’ cumail ris an lagh cho-thiomsach.

Fàinneachan

Ma tha dà obrachadh càraideach aig grùpa, fear suimidh ( + ) agus fear iomadachaidh ( × ), ’s e fàinne a chanar ris:

• ma tha e na ghrùpa aibèalach fon obrachadh suimidh,
• ma dh’fhaodas an t-obrachadh iomadachaidh a bhith air a sgaoileadh air na h-obrachaidhean suimidh: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ),
• ma tha an t-obrachadh iomadachaidh co-thiomsach: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Chan eil e riatanach gum bi eileamaid ionnannachd, no eileamaidean iom-thionndaidh aig an obrachadh iomadachaidh. ’S e sin ri ràdh, ged tha obrachadh iomadachaidh ann chan eil obrachadh roinnidh ann. Tha na slàn-àireamhan nan eisimpleir fàinne far nach eil roinneadh na h-obrachadh càraideach chionns gu bheil i fosgailte.

Raointean

’S e raon a th’ann ma tha fàinne na grùpa aibèalach fon obrachadh iomadachaidh cuideachd. ’S e eisimpleirean raoin a tha anns na h-àireamhan coimeasta, na fìor-àireamhan agus na h-àireamhan co-fhillte.

Gheibhear barrachd fiosrachaidh bho theòiridh ghrùpaichean, bho theòiridh fhàinneachan, agus bho theòiridh raointean.

Ailseabra cho-choitcheann

’S e oideachadh feartan a bhuineas do na structairean ailseabrach uile a tha ailseabra cho-choitcheann. Tha i a’ dèanamh mìneachadh air na th’ ann an ailseabra fhèin mar bhun-bheachd, a’ dèanamh eadar-sgaraidh air na gnèithean ailseabra, agus a’ toirt asta na h-eileamaidean coitcheann gus na prionnsabalan co-aonachaidh a lorg. Tha seo a’ toirt barrachd tuigse do na h-ailseabran aithnichte agus a’ chomais air ailseabran ùra a dhealbhadh.