Àireamhan àicheil is neo-àicheil

'S e àireamh nas lugha na neoni a th' ann an àireimh àicheil. Tha na h-àireamhan nas mò na neoni dearbh (no dearbhte). Chan eil neoni fhèin dearbh no àicheil. Ma tha àireamh neo-àicheil, 's e àireamh dhearbh no neoni a th' innte. Ma tha i neo-dhearbh, 's e àireamh àicheil no neoni a th' innte.

Ma thathar a' labhairt iomradh air àireamhan co-fhillte, 's e fìor-àireamh a th' ann mar as cumanta ma thathar ag ràdh dearbh rithe.

Àireamhan àicheil

Faodar a bheachdachadh air na h-àireamhan àicheil mar gum biodh iad a' leigeil a-mach air na h-àireamhan nàdarra gus fuasgladh ciallach a thoirt don cho-aontar x – y = z airson gach luach de x agus y. Agus 's ann a' leigeil a-mach air seo mu seach a tha na seataichean eile de dh'àireamhan agus gach aon dhiubh a' toirt tuilleadh coitcheannais do dh'àireamhan.

Tha àireamhan àicheil feumail airson àireimh a chur ri puingean sgèile a thèid fo neoni, mar eisimpleir sgèile theòthachd, agus airson fiachan nochdadh sa chunntasachd far a bheil iad air an sgrìobhadh le figearan dearga, no le figearan eadar chamagan.

Àireamhan neo-àicheil

Tha àireamh neo-àicheil ma tha i nas mò na, no co-ionnan ri, neoni (.i. àireamh dhearbh no neoni fhèin). Ri linn seo chan eil ciall air a' bhriathar neo-àicheil am measg àireamhan co-fhillte, ach a bheil iad nam fìor-àireamhan.

Tha meatrags fhìor-àireamhan neo-àicheil ma tha gach eileamaid dhith neo-àicheil. Tha machlag làn-neo-àicheil ma tha detèirmeanant gach fo-mheatrags ceàrnagaich dhith neo-àicheil cuideachd.

Fuincsean an t-Soidhne

Tha fuincsean ann thar nam fìor-àireamhan ris an canar am fuincsean signum (Laidinn – soidhne), sgn(x), far a bheil:

$sgn(x)={\begin{cases}-1,&{\mbox{ma tha }}x<0\\0,&{\mbox{ma tha }}x=0\\1,&{\mbox{ma tha }}x>0\end{cases}}$

Mur eil $x=0$:

$sgn(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d|x|}{x}}$

far a bheil |x| na dhearbh luach x.

Àireamhachd le àireamhan soidhneach

Cur-ris agus toirt air falbh

Gabhar a bheachdachadh air àireamhan àicheil mar gum b' e fiachan a th' annta nuair a tha àireamhan air an cur-ris agus air an toirt air falbh.

'S e an aon rud cur-ris àireimh àicheil agus toirt air falbh àireimh deirbhe:

5 + (−3) = 5 – 3 = 2.

Ma tha €5 agad agus fiach €3 ort, 's e €2 an luach lom agad.

−2 + (−5) = −2 – 5 = −7

Ma tha fiach $2 ort agus gheibh thu fiach $5, 's e $7 am fiach gu lèir ort.

Le bhith a' toirt air falbh àireimh deirbhe bho àireimh dheirbh nas lugha, 's e àireamh àicheil a th’ anns a’ bhuil:

4 − 6 = −2

Ma bha £4 agad ach chosg thu £6, 's e am fiach £2 a bhiodh ort.

'S e toirt air falbh àireimh àicheil an aon rud ri cur-ris na h-àireimh deirbh co-fhreagarraich:

5 – (−2) = 5 + 2 = 7.

Ma tha luach lom €5 agad agus gheibh thu cuidhteas fiach €2, 's e €7 an luach lom ùr agad.

–8 – (−3) = –8 + 3 = –5.

Ma tha fiach €8 ort ach gheibh thu cuidhteas fiach €3, 's e €5 am fiach air fhàgail ort.

Iomadachadh

'S e àireamh àicheil a th’ ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh dheirbh: −2 × 3 = −6. Agus 's e àireamh dhearbh a th' ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh àicheil: −4 × −3 = 12.

Tha dòigh ann seo a thuigsinn ma bheachdaicheas tu air iomadachadh le àireimh dheirbh mar ath chur-ris. San dòigh seo, 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 agus −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. 'S ann an aon dòigh b' e iomadachadh le àireimh àicheil an aon rud ri ath thoirt air falbh. Mar eisimpleir: 3 × −2 = −3 − 3 = −6.

Le bhith nas foirmeile, 's e àireamh dhearbh air a h-iomadachadh le −1 a th’ ann an àireimh àicheil:

−a	=	(−1) + (−1) + (−1) + (−1) + ...	agus a dhiubh.
	=	(−1) × a

Nise,

a × −b = a × (−1) × b

...agus chionns gu bheil iomadachadh co-iomlaideach agus co-thiomsach:

a × −b	=	(−1) × ab
	=	−ab

San aon dòigh:

−a × −b	=	(−1) × a × (−1) × b
	=	(−1) × (−1) × ab
	=	−(−1) × ab

Airson −(−1) a dh'fhuasgladh, thoir an aire gu bheil:

c – c	=	0
c + (–c)	=	0

...agus ma tha c = −1:

−1 + (–(−1))	=	0
–(−1) − 1	=	0
∴ –(−1)	=	1
∴ −a × −b	=	−(−1) × ab	=	ab

Roinneadh

Tha na riaghailtean seo freagarrach cuideachd do roinneadh. Ma tha àireamh dhearbh air a roinn le àireimh àicheil, no àireamh àicheil air a roinn le àireimh deirbh, ’s ann àicheil a’ bhuil:

4 ÷ −2	=	−2
−6 ÷ 3	=	−2

Ma tha an duais-roinn agus an roinniche dearbh am fear, no àicheil am fear, 's ann dearbh an roinn-àireamh.

8 ÷ 4	=	2
−12 ÷ −2	=	6

Togail foirmeil nan àireamhan àicheil is neo-àicheil

'S e na leanas togail foirmeil nan àireamhan àicheil agus neo-àicheil bho na h-àireamhan nàdarra.

Cruthaicheamaid seata ùr, canaidh sinn ℤ ris, de càraidean òrdaichte àireamhan nàdarra (a, b).

ℤ = { (a, b) : a, b ∈ ℕ }

Canaidh sinn gum bi dà eileamaid den t-seata seo (a, b) agus (c, d) co-ionnan, ma tha:

a + d = b + c

agus mas fìor seo, sgrìobhamaid sin:

(a, b) ~ (c, d)

Cuiridh sinn òrdugh air na h-eileamaidean cuideachd agus sgrìobhaidh sinn:

(a, b) ≤ (c, d)

ma tha

a + d ≤ b + c.

Nise, cuiridh sinn dà obrachadh càraideach + agus × ris an t-seata ℤ far a bheil:

(a, b) + (c, d)	~	(a + c, b + d)
(a, b) × (c, d)	~	(ac + bd, bc + ad)

Chionn 's gu bheil a + c, b + d, ac + bd agus bc + ad uile nam buill de sheata nan àireamhan nàdarra, tha an dà obrachadh seo dùinte, oir 's e buill de ℤ a tha buil nan obrachaidhean os cionn.

Ma tha eileamaid ann (m, n) den t-seata nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh +, gabhar a sgrìobhadh:

(a, b) + (m, n)	~	(a, b)
(a + m, b + n)	~	(a, b)

'S e sin ri ràdh:

a + m + b	=	b + n + a
∴ m	=	n

agus gum biodh eileamaid sam bith den riochd (n, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh +. Canamaid neoni ri eileamaid den t-seòrsa seo.

Ma tha eileamaid ann (m, n) den t-seata nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh ×, gabhar a sgrìobhadh:

(a, b) × (m, n)	~	(a, b)
(am + bn, bm + an)	~	(a, b)

An luib seo:

am + bn + b	=	bm + an + a
∴ (a – b)m	=	(a – b)(n + 1)
∴ m	=	n + 1

Bhiodh eileamaid sam bith den riochd (n + 1, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh ×. Canamaid a h-aon ri eileamaid sam bith den t-seòrsa seo.

Nise, gabhar a dhearbhadh gu furasta gum bi:

(n + 1, n) + (n + 1, n) ~ (n + 2, n)

(n + 2, n) + (n + 2, n) ~ (n + 4, n)

(n + 2, n) × (n + 3, n) ~ (n + 6, n)

Ma th' ann eileamaid den t-seata (m, n) far a bheil:

(a, b) + (m, n) ~ (n, n)

(a + m, b + n) ~ (n, n)

a + m + n	=	b + n + n
a + m	=	b + n
∴ m = b;		n = a

∴ (a, b) + (b, a) ~ (n, n)

'S e eileamaidean iom-thionndaidh a tha ann (b, a) agus (a, b) airson an obrachaidh +. Mar eisimpleirean:

(n + 1, n) + (n, n + 1) ~ (n, n)

(n + 2, n) + (n, n + 2) ~ (n, n)

Gabhar a dhearbhadh cuideachd gu bheil:

(n, n + 1) < (n, n) < (n, n + 1)

Tha e air a bhith a' fàs soilleir gu bheil cuid de dh'eileamaidean an t-seata seo ceart cho-ionnan ris na h-àireamhan nàdarra fhèin:

(n + 1, n)	≡	1
(n + 2, n)	≡	2
(n + 3, n)	≡	3
(a, b)	≡	a – b

Tha seo fìor ma tha a' chiad bhall den chàraid òrdaichte nas mò nan dara fear. Mas e an dara fear as mò, chan eil àireamh nàdarra ann a tha co-ionnan ris, ged nach eil e gu diofar anns an t-seata ℤ a bheil a > b no b > a. Ri linn sin, canaidh sinn gu bheil eileamaid (a, b) den t-seata ℤ dearbh ma tha a > b, neoni ma tha a = b, agus àicheil ma tha a < b. An àite càraidean àireamh (a, b), dèanar feum de dh’ fhigearan àireamhan nàdarra mar a leanas...

$(a,b)={\begin{cases}a-b,&:a>b\quad {\mbox{(m.e. 1, 2, 3, ...) }}\\0,&:a=b\\-(b-a),&:a<b\quad {\mbox{(m.e. -1, -2, -3, ...) }}\end{cases}}$

'S e seata nan slàn-àireamhan a th' anns an ℤ, anns a bheil x agus –x nan eileamaidean (àireamhan) iom-thionndaidh fon obrachadh + (cur-ris).