Àlach

Ann am matamataig, ’s e buidheann no seata nithean sam bith a th’ ann an àlach. Mar eisimpleir, tha na ceithir dathan: dearg, buidhe, uaine agus gorm, nam buill de dh’ àlach nan dathan uile. Ged tha bun-bheachd nan àlach simplidh, ’s e fear de na smaoineasan bunaiteach ann am matamataig nar latha an-diugh. ’S e teòiridh àlach sgoilearachd feartan nan àlach, agus tha cuid mhath de mhatamataig stèidhichte air.

Mar a leanas tha geàrr-chunntas bunasach de na theirear teòiridh àlach sìmplidh. Gheibh cus fiosrachadh air smaointean nas pongaile bho theòiridh àlach aicseamach.

Mìneachadh

’S e cruinneachadh de nithean sam bith a th’ ann an àlach. Tha na nithean seo nam buill no eileamaidean den àlach. Is àbhaisteach àlach a chomharrachadh le litir mhòr (me. A, B, C, msaa.). Tha dà àlach co-ionnan, sgrìobhte A = B, ma tha gach ball de A na bhall de B cuideachd.

Tha na buill de dh’ àlach matamataigeach uile eadar-dhealaichte. Chan fhaod ach aon bhall den t-seòrsa a bhith ann an àlach. Anns an t-seagh seo tha diofar eadar àlach matamataigeach agus cleachdadh an fhacail sa chainnt chumanta làitheil.

Chan eil òrdugh aig buill an àlaich. Mar eisimpleir, biodh A na àlach anns a bheil na ceithir àireamhan 2, 4, 6 agus 8. ’S urrainnear òrdugh na h-aibidil a chur riutha, no òrdugh àireamhail, no òrdugh sam bith eile ach chan eil òrdugh ann mar thà.

Glèidhidh obrachaidhean àlach na buadhan seo.

Iomraidhean air àlaichean

Thathar a’ toirt iomraidh air àlaichean an iomadh dòigh. Mar eisimpleir, le faclan:

’S e A an t-àlach anns nach eil ach a’ chiad cheithir àireamhan slàn dearbh.

’S e B an t-àlach anns nach eil ach dathan bratach na Frainge.

Faodaidh nithean eugsamhail a bhith ann an àlach agus ’s e an cleachdadh liosta dhiubh a dhèanamh eadar camagan bachlach. Mar eisimpleir:

C = { 4, 2, 1, 3 }

D = { dearg, geal, gorm }

Faodaidh dà iomradh a bhith air an aon àlach. Mar eisimpleir, mar os cionn tha A agus C co-ionnan chionns gu bheil na buill de A nam buill de C cuideachd, agus tha gach ball de C na bhall de A. ’S ann an seo a tha seagh “co-ionnanachd” nan àlach, agus seagh comharra “=” nuair a sgrìobh sinn A = C. Mar an ceudna, tha B = D.

Chan eil òrdugh aig na buill agus chan eil e gu diofar co dhiù a sgrìobhar:

C = { 4, 2, 1, 3 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3, 2, 4 } = …

Chan ann ach aon de gach seòrsa ge b’ e air bith dè cho tric ’s a tha ball ainmichte anns an liosta. Ma tha:

E = { dearg, geal, gorm, geal, dearg, dearg, gorm }

Chan eil ach trì dathan ann, agus tha E = D = B.

Ma tha an liosta fada, agus pàtran nam ball follaiseach, ’s urrainnear beàrn ( ... ) a chur ann. Mar eisimpleir tha a’ chiad chaogad àireamh chothromach dhearbh:

{ 2, 4, 6, 8, ..., 100 }

Anns an dòigh cheudna, tha àlach nan àireamhan nàdarra corra:

{ 1, 3, 5, 7, ... }

Uaireannan tha foirmle feumail. Mar eisimpleir, ma tha F na àlach den chiad fhichead àireamhan a tha ceithir nas lugha na slàn-àireamh cheàrnaichte, ’s urrainnear a sgrìobhadh:

F = { n² − 4 : n na shlàn-àireamh; 0 ≤ n ≤ 19 }

Thathar a’ leughadh a’ chòilein (:) “far a bheil”, agus an iomraidh gu lèir: “Tha F na àlach àireamh den riochd n² − 4, far a bheil n na shlàn-àireamh agus tha n san raon bho 0 gu 19”.

Ballrachd àlach

Thathar a’ comharrachadh ball no eileamaid àlaich le ∈, bho litir na Grèigis ε a’ riochdachadh “eileamaid de”. Mur eil rudeigin na bhall thathar a’ comharrachadh le ∉. Mar eisimpleirean:

dearg ∈ { dearg, geal, gorm }, ach uaine ∉ D

4 ∈ A

285 ∈ F (chionn 's gu bheil 172 – 4 = 285) ach 9 ∉ F

Ma tha àlach a’ gabhail a-steach eileamaid, tha seo air a chomharrachadh le ∋, agus mur eil leis a’ chomharra ∌ (me. D ∋ dearg, D ∌ uaine). Tha na comharran seo air an leughadh “a tha gabhail a-steach” no “anns a bheil an eileamaid” agus “anns nach eil an eileamaid”.

An t-àlach bàn

Mur eil ball no eileamaid sam bith anns an àlach, ’s e an t-àlach bàn a th’ ann agus tha an comharra sònraichte $\varnothing$ air.

$\varnothing$ = { }

Fo-àlaichean agus for-àlaichean

Ma tha gach ball den àlach A na bhall den àlach B cuideachd, ’s e fo-àlach B a th’ anns an A. Tha seo air a sgrìobhadh A ⊆ B. Ma tha A ⊆ B agus B ⊆ A, ’s ann a tha A = B. Ma tha A na fho-àlach B agus tha eileamaidean anns a’ B nach eil anns an A, tha A na fho-àlach fìor de B. Tha seo air a sgrìobhadh A ⊂ B, no mar A ⊊ B airson a shoilleireachadh nach eil A agus B co-ionnan. Mar eisimpleir:

{ 1, 3 } ⊂ { 1, 2, 3, 4 }

{ 1, 3, 4, 2 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 }

Tha gach àlach na fho-àlach fhèin, A ⊆ A, agus tha an t-àlach bàn na fho-àlach de gach àlach, $\varnothing$ ⊆ A. Mur eil A na fho-àlach B, thèid a sgrìobhadh A ⊈ B, no A ⊄ B.

Ma tha A na fho-àlach B, ’s e for-àlach A a th’ anns a’ B. ’S urrainnear a’ sgrìobhadh B ⊇ A. Faodaidh na comharran eile air an cur air ais cuideachd (.i. ⊃ ⊅ ⊉ ⊋).

Aonadh àlach

’S e aonadh nan àlach A agus B àlach nan eileamaidean uile a th’ anns an A no a th’ anns a’ B. Tha seo air a sgrìobhadh: A ⋃ B. Mar eisimpleir:

{ 1, 3, 5 } ⋃ { 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Tha e soilleir gu bheil:

A ⋃ B = B ⋃ A

A ⋃ A = A

A ⊆ A ⋃ B

A ⋃ $\varnothing$ = A

Eadar-ghearradh àlach

’S e eadar-ghearradh nan àlach A agus B àlach nan eileamaidean uile a tha an dà chuid na bhall de A agus na bhall de B. Tha seo air a sgrìobhadh: A ⋂ B. Mar eisimpleir:

{ 1, 2, 3, 4, 5 } ⋂ { 2, 3, 7, 9 } = { 2, 3 }

{ 1, 3, 5, 7 } ⋂ { 2, 4, 6, 8 } = $\varnothing$

Ma tha A ⋂ B = ∅, tha na h-àlaichean neo-thàthach. Tha e soilleir gu bheil:

A ⋂ B = B ⋂ A

A ⋂ A = A

A ⋂ B ⊆ A

A ⋂ $\varnothing$ = $\varnothing$

Àlach co-phàirteach

’S e co-phàirt an àlaich A àlach nan eileamaidean uile nach eil anns an àlach A. Tha seo air an sgrìobhadh A′. Thathar a’ togail às an seo gu bheil ciall air àlach anns a bheil gach ni a th’ anns a’ chruinne-cè. Tha seo ainmichte àlach na h-uileachd, U, agus tha e soilleir gu bheil:

A ⋃ A′ = U

A ⋂ A′ = $\varnothing$

(A′)′ = A

U = $\varnothing$′

U ′ = $\varnothing$

Anns a’ chumantas, tha e nas feumaile bheachdachadh air àlach leis na h-eileamaidean nach eil anns an àlach A, can, ach gu bheil ann an àlach eile B, can. ’S e co-phàirt dàimheach na h-A anns a’ B a tha seo, no an diofar eadar an t-àlach B agus an t-àlach A. Tha an diofar seo air a sgrìobhadh: B – A. Tha e soilleir gu bheil:

A – B = A ⋂ B ′

A – A = $\varnothing$

Àlaichean sònraichte

Tha grunnan àlaich a tha cudromach ann am matamataig agus tha ainmean sònraichte aca. Is iad seo:

P àlach nam prìomh-àireamhan. ’S e sin { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.

N àlach nan àireamhan nàdarrach. ’S e sin { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.

Z àlach nan slàn-àireamhan. ’S e sin { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.

Q àlach nan àireamhan coimeasta. ’S e sin { a/b : a, b ∈ Z; b ≠ 0 }.

R àlach nam fìor-àireamhan. ’S e sin aonadh Q agus àlach nan àireamhan eucoimeasta (.i. na h-àireamhan nach thathar a’ sgrìobhadh mar bloighean, me. π, e, agus √2).

C àlach nan àireamhan co-fhillte. ’S e sin { a + b i : a, b ∈ R }.

Tha P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Àrdaileachd àlaich

’S e àrdaileachd àlaich an àireamh de bhuill no eileamaidean a th' anns an àlach. ’S e neoni àrdaileachd an àlaich bhàin agus eicrioch àrdaileachd nan àlach P, N, Z, Q, R agus C.